O binômio de Newton consiste no cálculo de um polinômio que apresenta dois termos elevado a um número natural qualquer. Esse cálculo foi desenvolvido pelo matemático e físico Isaac Newton e por isso leva o seu nome. Para entender o que é esse cálculo e como ele é feito prossiga a leitura!

O que é o binômio de Newton?

Como citamos acima, o binômio de Newton é um cálculo desenvolvido por Isaac Newton, um nome que fez grandes contribuições para a ciência. Esse binômio consiste no cálculo de um polinômio com dois termos elevado a um número natural qualquer. 

A resolução de problemas envolvendo polinômios demonstrou existir regularidade quando se calculava a potência de um binômio. Newton então desenvolveu um método para solucionar um binômio que estivesse elevado a um número natural. Essa solução recorre ao triângulo de Pascal. 

Também é possível encontrar, através da fórmula do termo geral de um binômio, coeficientes e termos individualmente, sem precisar calcular o binômio todo. De maneira geral, o binômio de Newton é um método bastante útil para encontrar a solução de um binômio elevado a um expoente natural. 

A fórmula do binômio de Newton

Binômio, na matemática, é um polinômio com dois termos. A potência de binômio é muito recorrente em problemas de astronomia, física, química e na própria matemática. No cálculo da potência de um binômio elevado a um expoente natural, é mais difícil encontrar a potência quanto maior é o expoente. 

Dessa forma, o binômio de Newton tem como função resolver as seguintes potências: 

• (a + b)0 = 1  – qualquer número elevado a zero será igual a 1.
• (a + b)1 = a + b – qualquer número elevado a 1 será igual a ele mesmo.
• (a + b)² = (a + b ) (a + b) = a² + 2ab + b²
• (a + b)³ = (a + b) (a + b) (a + b) = (a+b) (a² + 2ab + b²) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³

Observe que quanto maior for o expoente do binômio mais difícil é o cálculo da potência. Newton desenvolveu uma forma mais simples de encontrar os binômios através da fórmula: 

(a+b)n = n0 an  + n1 an-1 b + n2 an-2 b2 +…+ nn-1 abn-1 + nn bn

Confira o exemplo: 

Cálculo de (a + b)5

Passo 1 – Na fórmula, n passa a ser igual a 5.  

(a+b)5 = 50 a5  + 51 a4 b + 52 a3 b2 + 53 ab4 + 55 b5

Passo 2 – Em seguida, é feito o cálculo dos coeficientes que são combinações. A fórmula para calcular a combinação é: 

nk = n!k!n-k!

Prosseguiremos calculando cada uma das combinações:

50 = 5!0!5-0! = 5!0!5! = 1

51 = 5!1!5-1! = 5!1!4! = 5

52 = 5!2!5-2! = 5!2!3! = 10

53 = 5!3!5-3! = 5!3!2! = 10

54 = 5!4!5-4! = 5!4!5! = 5

55 = 5!5!5-5! = 5!5!0! = 1

Passo 3 – Neste passo, as combinações devem ser substituídas pelos resultados encontrados. 

(a + b)5 = 1a5 + 5a4b + 10a³b² + 10a²b³ + 5ab4 + 1b5

Triângulo de Pascal

Conhecendo o triângulo de Pascal não é necessário calcular as combinações na fórmula do binômio de Newton. Basta construir o triângulo de Pascal, pois os coeficientes do binômio estão relacionados diretamente com as linhas desse triângulo.

Confira a seguir como o triângulo é construído com base nas combinações: 

linha 0 = 00

linha 1 = 10 11

linha 2 = 20 21 22

linha 3 = 30 31 32 33

linha 4 = 40 41 42 43 44

.

.

.

linha n = n0 n1 n2 n3 … nn-1 nn

Iniciando pela linha zero conseguiremos construir quantas linhas for preciso para chegar às combinações que desejamos. Para encontrar esses resultados existe uma forma prática para a construção do triângulo de Pascal. Então podemos chegar aos resultados das combinações sem utilizar a fórmula de combinação. 

Construindo o triângulo de Pascal

A combinação de um número com zero é sempre 1 e a combinação de um número com ele mesmo é sempre 1. Então a primeira coluna será sempre igual a 1 e o último termo da linha será sempre igual a 1. 

1

1          1

1          x1           1

1          x2         x3           1

1          x4           x5         x6          1

1          x7           x8         x9           x10         1

1          x11         x12       x13         x14         x15         1

O método de construção para as linhas seguintes é o mesmo. 

Encontrando os termos centrais

Para encontrar os termos centrais devemos começar por x1. Para isso é necessário somar o termo que está acima dele na mesma coluna com o termo que se encontra acima dele na coluna anterior, confira: 

1

1          1

1          x1           1

1          x2         x3           1

1          x4           x5         x6          1

1          x7           x8         x9           x10         1

1          x11         x12       x13         x14         x15         1

Fica assim:

x1 = 1 + 1 = 2

1

1          1

1          2           1

1          x2         x3           1

1          x4           x5         x6          1

1          x7           x8         x9           x10         1

1          x11         x12       x13         x14         x15         1

O mesmo raciocínio pode ser usado para encontrar os demais x. 

Termo geral do binômio de Newton

A fórmula do termo geral do binômio de Newton é usada para calcular um termo sem precisar desenvolvê-lo completamente. Qualquer um dos termos de um binômio pode ser identificado usando essa fórmula: 

TP+1 = np an-p bp

Sendo:

• a = primeiro termo; 
• b = segundo termo;
• n = expoente; 
• p + 1 = termo procurado

Agora você já sabe a definição e a aplicação do binômio de Newton! Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag Medicina.