Produtos notáveis e fatoração são dois conceitos essenciais da álgebra para a resolução de equações. No artigo a seguir explicaremos melhor cada um e daremos dicas para que você tenha um bom desempenho no Enem e vestibulares. 

Álgebra: o que é fatoração?

A fatoração consiste em um processo de decomposição de uma expressão algébrica. Essa expressão pode ser polinomial ou de conversão de um número em um produto de fatores mais simples. 

Trata-se de uma técnica utilizada na matemática para simplificar expressões, analisar funções e solucionar equações. A decomposição de uma expressão em fatores mais simples permite simplificar os cálculos e encontrar soluções de forma mais prática. 

Expressões algébricas: monômios e polinômios

Monômios

Os monômios são expressões algébricas que tem apenas um termo constituído de:

• Produto de uma constante (coeficiente);
• Variáveis elevadas a potências inteiras e não negativas.

Exemplos de monômios: 3x², 7z e -5xy.

Polinômios

Por sua vez, os polinômios são expressões algébricas que configuram a soma (ou diferença) de monômios. Cada termo é constituído por:

• Um coeficiente;
• Variáveis elevadas a potências inteiras e não negativas. 

Exemplos de polinômios: 4x³ – 2x² + 5x – 1 (polinômio de grau 3 por ter 3 como maior expoente). 

Importante

Um monômio também pode ser considerado um polinômio, porém, com apenas um termo. Logo todos os monômios são polinômios. 

Como fatorar?

A fatoração numérica consiste em decompor um número em seus fatores primos. Deve-se seguir uma ordem específica, os números primos devem estar em ordem crescente. Consideram-se as regras de divisibilidade para o termo que será fatorado. Os números primos são aqueles que só podem ser divididos por 1 e por eles mesmos. 

Exemplo de decomposição em fatores primos:

Vamos fatorar o número 36. 

• Divida o número pelo menor número primo possível (2, 3, 5, 7, etc.).
• O número 36 deverá ser dividido por 2. O resultado é 18. 
• Repita o processo com o número 18. Dividindo 18 por 2 obteremos 9. 
• O número 9 deverá ser dividido pelo próximo número primo, 3. Obteremos então 3. 
• Ao terminarmos o processo temos os seguintes fatores primos: 2, 2, 3 e 3. 
• Então a decomposição em fatores primos do número 36 é 2² × 3².

Outra forma de fatorar 

Outro processo que pode ser usado para fatorar um número é o de colunas. Para isso, coloque na coluna da esquerda o número a ser fatorado. Preencha a coluna da direita com os fatores primos. 

Ao fazer a divisão do número pelo fator primo, adicione os resultados na coluna da direita. Faça as divisões sucessivamente para simplificar o número, isto é, até reduzi-lo a 1. 

3900 2 1950 2 975 3  

325 5 65 5 13 13  

   1

3900 = 22 . 3 . 52 . 13

Fatoração de expressões algébricas

A fatoração de um polinômio é realizada para representá-lo como uma multiplicação. 

Confira a seguir um exemplo numérico para entender melhor porque fazer a fatoração: 

Qual é o resultado de 1524² – 1523²? 

Esse cálculo pode ser resolvido com apenas uma adição. Para isso utilizaremos a fatoração conhecida como “diferença de quadrados”. Confira abaixo: 

1524² – 1523² = (1524 + 1523) × (1524 – 1523) = (1524 + 1523) × 1 = 3.047

Essa é uma forma muito mais prática para resolver. A fatoração é utilizada para tornar os cálculos mais fáceis. O fator comum e o agrupamento são dois métodos bastante utilizados em polinômios. 

Fator comum

Nesse método é necessário identificar e extrair um termo ou expressão que está presente em todos os monômios de um polinômio. A extração do fator comum simplifica a expressão original. 

Exemplo:

6x² + 9x

Nesse polinômio o fator comum é 3x, pois os dois termos são divisíveis por 3x. Confira a fatoração do polinômio: 

6x² + 9x = 3x(2x + 3)

Agrupamento

Esse método é usado quando é possível agrupar os termos de um polinômio em pares ou grupos. Cada grupo deve ter um fator comum. Após agrupar os termos e extrair os fatores comuns é possível prosseguir com a fatoração. 

Exemplo: 

3ax + 3ay + 2bx + 2by

Os termos podem ser agrupados da seguinte maneira: 

3ax + 3ay + 2bx + 2by = (3ax + 3ay) + (2bx + 2by)

Prossiga extraindo os fatores comuns de cada grupo: 

(3ax + 3ay) + (2bx + 2by) = 3a(x + y) + 2b(x + y)

Observe que (x + y) é o fator comum em ambos. Logos, podemos fatorar mais uma vez: 

3a(x + y) + 2b(x + y) = (3a + 2b)(x + y)

A fatoração do polinômio original é (3a + 2b)(x + y).

Álgebra: o que são produtos notáveis?

Os produtos notáveis são ferramentas de grande importância no estudo da álgebra. Eles têm papel essencial para a realização de vários cálculos matemáticos como equações de primeiro e segundo grau. O termo “notável” é utilizado para destacar a importância desses conceitos dentro da matemática. 

Produtos notáveis comuns

Na álgebra, são chamados de produtos notáveis as expressões algébricas simplificadas que tornam os cálculos mais simples. Confira a seguir alguns dos produtos notáveis mais comuns: 

Quadrado da soma de dois termos

Expressão algébrica resultante do quadrado da soma entre dois termos. Tendo (a + b)², o resultado é a² + 2ab + b².

Quadrado da diferença de dois termos

Expressão algébrica resultante do quadrado da diferença entre dois termos. Tendo (a – b)², o resultado é a² – 2ab + b².

Produto da soma pela diferença de dois termos

Expressão algébrica resultante da multiplicação entre a soma e a diferença de dois termos. Tendo (a + b)(a – b), o resultado é a² – b².

Cubo da soma de dois termos

Expressão algébrica resultante do cubo da soma entre dois termos. Tendo (a + b)³, o resultado é a³ + 3a²b + 3ab² + b³.

Cubo da diferença de dois termos

Expressão algébrica resultante do cubo da diferença entre dois termos. Tendo (a – b)³, o resultado é a³ – 3a²b + 3ab² – b³.

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