Para que serve a análise combinatória? - Hexag Medicina
15/03/2023 Matemática

Para que serve a análise combinatória?

Escrito por Hexag Educacional @hexagmedicina
Para que serve a análise combinatória?

Você sabia que os princípios da análise combinatória estão presentes em nosso dia a dia? Eles são essenciais para a obtenção das informações disponíveis em páginas de internet, aplicativos de smartphones e até jogos. Continue lendo para entender do que se trata o conceito e para que ele serve. 

Análise combinatória: processos matemáticos dos bastidores

Como citamos acima, os conceitos da análise combinatória estão presentes em nosso dia a dia de diferentes formas. No entanto, essas aplicações não estão visíveis para os usuários “comuns”. Por isso nem todo mundo compreende a relevância desses processos matemáticos que acontecem nos bastidores. 

A análise combinatória está presente em campos como:

  • Estudo de probabilidades e estatísticas;
  • Registro de CPFs (cada indivíduo deve ter um número único);
  • Pesquisas da área genética;
  • Análise de dados da saúde;
  • Sistemas de cibersegurança;
  • Definição de senhas entre outros.

Mas, afinal o que é análise combinatória?

A análise combinatória é um ramo inserido nas Matemáticas que se dedica a:

  • Construir e enumerar propriedades de ordenamento e configurações dentro de condições estabelecidas;
  • Desenvolvimento de métodos de contagem para definir a quantidade de agrupamentos possíveis para elementos de um determinado conjunto.
  • Estabelecimento de definições que sigam determinadas regras ou condições particulares. 

O principal objetivo da análise combinatória é permitir calcular o número de possibilidades que podem acontecer num certo experimento ou evento. Esse cálculo evita a necessidade de descrever cada uma das possibilidades.

Exatamente por isso, a análise combinatória é indicada para experiências que tenham uma grande quantidade de possibilidades. Nesses casos seria inviável ou pelo menos levaria muito tempo para detalhar cada resultado possível. 

Exemplo

Quantas possibilidades de agrupamento existem se considerarmos as três primeiras letras do alfabeto?

ABC

                                        ↓                       ↓                   ↓

                                      ABC                 BAC              CBA

                                    ↓       ↓                ↓       ↓          ↓         ↓

                                ABC    ACB        BAC   BCA    CBA   CAB

No exemplo acima, fica evidente que existem diversas formas de agrupar os elementos. Considerando-se isso e usando o princípio da contagem (ou princípio multiplicativo) foram desenvolvidas diferentes fórmulas de análise combinatória. A ideia é que essas fórmulas abranjam todas as possibilidades de reagrupamento dos elementos. 

Para fazer uma análise combinatória correta é necessário identificar primeiro qual é o tipo de agrupamento proposto. Partindo disso, é possível escolher o método mais recomendado para o cálculo das combinações possíveis. Contudo, antes de abordar esse tema precisamos falar sobre: o princípio da contagem e o fatorial de um número. 

O que é princípio da contagem? 

O princípio fundamental da contagem (P.F.C.) – também chamado de princípio multiplicativo – é um método algébrico. Sua função é determinar o número total de possibilidades em um evento ou experimento. 

De acordo com esse princípio:

“Se uma decisão X pode ser tomada de n de maneiras e uma decisão Y pode ser tomada de m maneiras, e elas são independentes, então o número de combinações possíveis entre as duas decisões é calculado pela multiplicação de n .m.”

Em outras palavras, isso quer dizer que devemos multiplicar o número de possibilidades de cada etapa do evento para conhecer o total de possibilidades do processo. 

O que é o fatorial de um número?

Representado por n!, o fatorial, consiste numa forma de decompor um número natural. Para isso esse número é multiplicado por todos os seus antecessores inteiros que são maiores do que zero (0). Assim temos a seguinte fórmula:

n! = n (n – 1) · (n – 2) · (n – 3) · … · 1

Por exemplo, se quisermos calcular o fatorial do número 5 devemos multiplicá-lo por 4, 2 e 1. Logo: 5! = 5.4.3.2.1 = 120.

Tipos de agrupamento

O cálculo de fatorial que apresentamos acima aparece em problemas de análise combinatória que envolvem três tipos de argumentos, confira abaixo. 

1 – Permutação

Na Matemática, a palavra “permutar” diz respeito a trocar elementos de posição dando origem então a uma nova ordem. Na análise combinatória, a permutação diz respeito a calcular quantas combinações podemos obter considerando todos os elementos de um conjunto.

Há dois subtipos de permutação: simples e com repetição.

Permutação simples

Utiliza todos os elementos do conjunto, porém, não permite repetição. É feito o cálculo do fatorial do número natural (que se refere a quantidade total de elementos do conjunto analisado). Assim temos a fórmula: Pn = n!.

Permutação com repetição

Utiliza todos os elementos do conjunto e permite repetição. Então a fórmula considera o número de elementos n do conjunto e quantas vezes um mesmo elemento aparecerá no cálculo.

2 – Arranjo

Nesse tipo de agrupamento selecionamos uma parte dos elementos que compõem o conjunto para calcular as combinações possíveis. A análise combinatória é utilizada para o cálculo da quantidade de combinações ordenadas que podem ser construídas com determinado número de elementos do conjunto. Sempre menor do que o número total. 

Há dois subtipos de arranjo: simples e completo.

Arranjo simples

Nesse arranjo estão inclusos todos os agrupamentos ordenados formados por um número p de elementos diferentes escolhidos dentro do universo total de elementos do conjunto (n). Isso significa que não admite repetição. A sua fórmula é:

A(n.p) = n!n-p!

Arranjo completo

Permite repetição, consideramos todo o agrupamento de p como elementos de um conjunto com n elementos distintos, inclusive os elementos repetidos. Mas, devemos considerar que a mudança de ordem determina grupos distintos. Usamos então a fórmula:

ARn.p = np

3 – Combinação

É importante compreender que nem toda operação de análise combinatória é uma combinação. Por esse motivo se costuma usar o termo “reagrupamentos” mais do que o termo “combinações”.

A combinação, na análise combinatória, é um tipo específico de agrupamento em que precisamos calcular quantos subconjuntos podem ser formados a partir do total de elementos. 

A diferença entre combinação e os outros tipos de agrupamentos é que nesse tipo a ordem dos elementos não importa. A fórmula utilizada é a seguinte: 

C(n.p) = n!p!n-p!

Gostou de saber mais sobre análise combinatória? Para conferir mais conteúdos sobre matemática e outras disciplinas, navegue pelos posts do blog Hexag Medicina!

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