A fatoração de uma expressão algébrica nada mais é do que escrevê-la na forma de produto. Essa é uma ferramenta bastante prática para a solução de problemas matemáticos. Continue lendo para saber mais sobre o conceito e como aplicá-lo.

O que é a fatoração de expressão algébrica?

Fatorar uma expressão algébrica significa escrevê-la na forma de produto. Na resolução de problemas, que envolvem expressões algébricas, a fatoração é bastante útil. O seu uso, em boa parte dos casos, simplifica a expressão que está sendo trabalhada. 

Para fazer a fatoração de expressões algébricas usaremos um resultado bastante importante na matemática, conhecido como teorema fundamental da aritmética. Ele afirma que qualquer número inteiro maior do que 1 pode ser escrito na forma de produto de números primos. Confira: 

• 121 = 11 · 11
• 60 = 5 · 4 · 3

Basicamente, fatoramos os números 121 e 60. 

Métodos de fatoração de expressões algébricas

A seguir apresentaremos os principais métodos de fatoração, justificaremos geometricamente os mais usados. 

Fatoração por evidência

Observe o retângulo: 

A área do retângulo azul somada à área verde do retângulo resulta em um retângulo maior. Analisaremos a seguir cada uma dessas áreas. 

AAZUL = b · x

AVERDE = b · y

AMAIOR = b · (x + y)

Logo, teremos: 

AMAIOR = AAZUL + AVERDE

b (x + y) = bx + by

Confira os exemplos

Fatoração da expressão: 12x + 24y.

Nesse caso, “12” é o fator em evidência, pois ele aparece nas duas parcelas. Então para definir os números que estarão no interior dos parênteses basta fazer a divisão de cada parcela pelo fator em evidência. Confira abaixo: 

12x : 12 = x

24y : 12 = 2y

12x + 24y = 12 · (x + 2y)

Fatoração da expressão: 21ab2 – 70a2b.

Assim como fizemos no exemplo acima, devemos determinar qual é o fator em evidência, aquele que aparece nas duas parcelas. Na parte numérica, temos o 7 como fator comum, pois ele é o único que divide ambos os números.

Já da parte literal, o que se repete é o fator ab, então temos como fator em evidência: 7ab. Confira: 

21ab2 – 70a2b = 7ab (3b – 10a)

Fatoração por agrupamento

Esse tipo de fatoração é decorrente da fatoração por evidência. Contudo, se diferencia porque ao invés de termos um monômio como fator comum ou fator de evidência teremos um polinômio. 

Confira o exemplo:

Fatoração da expressão: (a + b) · xy + (a + b) · wz2

O fator comum é o binômio (a + b), então a fatoração dessa expressão fica assim: 

 (a + b) · (xy + wz2)

Diferença entre dois quadrados

Para entender esse conceito considere dois números a e b. Se tivermos a diferença do quadrado desses números, ou seja, a2 – b2, então poderemos escrevê-los como o produto da soma pela diferença. Confira abaixo: 

a2 – b2 = (a + b) · (a – b)

Confira os exemplos:

Fatoração da expressão: x2 – y2

Para essa fatoração podemos usar a diferença entre dois quadrados, assim: 

x2 – y2 = (x + y) · (x – y)

Fatoração de: 2.0202 – 2.0192.

Podemos usar a diferença entre dois quadrados, assim: 

2.0202 – 2.0192 = (2.020 + 2.019) · (2.020 – 2.019)

2.0202 – 2.0192 = 4.039 · 1

2.0202 – 2.0192 = 4.039

Trinômio do quadrado perfeito

Confira o quadrado a seguir de lado (a + b) e observe as áreas dos retângulos e quadrados que se formam na sua parte interna.

Nesse exemplo, a área do quadrado maior é dada por (a + b)2. Contudo, a área do quadrado maior pode ser obtida através da soma dos quadrados e retângulos da parte interna. Confira:

(a + b)2 = a2 + ab + ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

De forma análoga, temos: 

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Exemplo:

Fatoração da expressão: x2 + 12x + 36.

A fatoração desse tipo de expressão algébrica depende da identificação do coeficiente da variável x e o coeficiente independente e de comparar com a fórmula dada. Confira a seguir:

x2 + 12x + 36

a2 + 2ab + b2

Realizando as comparações, observe que x = a, 2b = 12 e b2 = 36. Das igualdades, sabemos que b = 6. Então a expressão fatorada fica assim:

x2 + 12x + 36 = (x + 6)2

Trinômio do segundo grau

Para explicar esse tópico usaremos o trinômio: ax2 + bx + c. A fatoração desse trinômio pode ser encontrada através das raízes, isto é, de valores de x que zerem a expressão. Para isso, basta resolver a equação: ax2 + bx + c = 0 com o método que preferir. Resolveremos a equação utilizando o método de Bhaskara: 

ax2 + bx + c = a · (x – x1) · (x – x2)

Exemplo:

Fatoração da expressão x2 + x – 20.

A primeira etapa é determinar as raízes da equação: x2 + x – 20 = 0.

∆ = 1 – 4(1)(-20)

∆ = 1 + 80 = 81

x = -1 ±92

Então a fatoração da expressão: x2 + x – 20 é: 

(x – 4) · (x + 5)

Cubo da diferença entre dois números

Encontramos o cubo da diferença entre dois números a e b da seguinte forma: 

(a – b)3 = (a – b) · (a – b)2

(a – b)3 = (a – b) · (a2 – 2ab + b2)

Cubo da soma de dois números

Analogamente, temos que (a + b)3 = (a + b) · (a + b)2 , logo:

(a + b)3 = (a + b) · (a2 + 2ab + b2)

A fatoração é uma ferramenta que facilita a solução de expressões algébricas. Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag Medicina!