O Teorema de Pitágoras diz que a soma dos quadrados dos catetos de um triângulo retângulo é igual ao quadrado da sua hipotenusa. Um triângulo retângulo é aquele que possui um ângulo interno de 90º (ângulo reto). Basicamente, esse teorema relaciona o comprimento dos lados desse tipo de triângulo. 

Entenda o que é o Teorema de Pitágoras

O Teorema de Pitágoras consiste em uma relação matemática entre os comprimentos dos lados de qualquer triângulo retângulo. Esse teorema afirma que:

“Em qualquer triângulo retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”. 

Fórmula do Teorema de Pitágoras

De acordo com o enunciado do Teorema de Pitágoras temos a seguinte fórmula: 

a2 = b2 + c2

Sendo: 

a – hipotenusa

b – cateto

c – cateto

Triângulo retângulo: 

Num triângulo retângulo:

• A hipotenusa é o maior lado e o lado oposto ao ângulo reto.
• Os outros dois lados são chamados de catetos.
• A medida formada pelos dois catetos é igual a 90° (ângulo reto). 
• Os catetos podem ser identificados também de acordo com um ângulo de referência sendo chamados de: adjacente e oposto.
• O cateto adjacente é aquele que está junto ao ângulo de referência.
• O cateto que está contrário a esse ângulo é chamado de oposto. 

Confira a figura:

Exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras

A seguir apresentaremos três exemplos de aplicações do Teorema de Pitágoras para as relações métricas de um triângulo retângulo. 

Primeiro exemplo: cálculo da medida da hipotenusa 

Num triângulo retângulo com catetos com medidas de 3 cm e 4 cm, qual será a hipotenusa?

Resolução:

a2 = b2 + c2

a2 = 42 + 32

a2 = 16 + 9

a2 = 25

a = 25

a = 5 

Então, os lados desse triângulo retângulo são: 3 cm, 4 cm e 5 cm.

Segundo exemplo: cálculo da medida de um dos catetos

Num triângulo retângulo com hipotenusa de 20 cm e um cateto de 16 cm, determine o outro cateto. 

Resolução:

a2 = b2 + c2 → b2 = a2 – c2

b2 = 202 – 162

b2 = 400 – 256

b2 = 144

b = 144

b = 12

Esse triângulo apresenta as seguintes medidas: 12 cm, 16 cm e 20 cm.

Terceiro exemplo: cálculo para comprovar se um triângulo é retângulo 

Se um triângulo apresenta as seguintes medidas: 5 cm, 12 cm e 13 cm, como podemos saber se ele é um triângulo retângulo? Para saber se esse triângulo é um verdadeiro triângulo retângulo é necessário que as medidas dos seus lados obedeçam ao Teorema de Pitágoras.

Resolução:

a2 = b2 + c2

132 = 122 + 52

169 = 144 + 25

169 = 169

As medidas dadas satisfazem o Teorema de Pitágoras, isto é, o quadrado da hipotenusa é igual à soma do quadrado dos catetos. Sendo assim, esse é um triângulo retângulo verdadeiro. 

Triângulo Pitagórico

Recebe o nome de triângulo pitagórico, o triângulo retângulo cujas medidas dos lados são números inteiros positivos. Os catetos e a hipotenusa, nesse caso, são chamados de “terno pitagórico” ou “trio pitagórico”. Para saber se três números constituem um trio pitagórico podemos usar a relação: a2 = b2 + c2. 

O caso mais célebre de trio pitagórico é aquele formado pelos números: 3, 4 e 5. A hipotenusa é igual a 5, o maior cateto é 4 e o cateto menor é igual a 3. Observe que os múltiplos de 3, 4 e 5 também formam ternos pitagóricos. Então um triângulo de 9, 12 e 15 cm também é um triângulo pitagórico. 

Confira alguns exemplos de ternos pitagóricos: 

• 5, 12 e 13; 
• 7, 24, 25; 
• 20, 21 e 29;
• 12, 35 e 37. 

Biografia de Pitágoras

Pitágoras de Samos (570 a.C. – 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego. Ele fundou a Escola Pitagórica (também chamada de Sociedade Pitagórica), situada no sul da Itália. Dentre as áreas do conhecimento desenvolvidas nessa escola, podemos citar: Matemática, Música e Astronomia. 

Os babilônicos, que viveram bem antes de Pitágoras, já conheciam as relações métricas do triângulo retângulo. Contudo, estima-se que a primeira demonstração de que o teorema se aplicava a qualquer triângulo retângulo foi feita por Pitágoras. 

Esse teorema se tornou um dos mais conhecidos e usados na matemática. Trata-se de um dos mais relevantes para resolver problemas da geometria analítica, da geometria espacial, da geometria plana e da trigonometria. Outras contribuições importantes da Sociedade Pitagórica incluem: 

• Descoberta dos números irracionais;
• MMC e MDC; 
• Propriedades dos números inteiros. 

Demonstrações do Teorema de Pitágoras

Há inúmeras formas de provar o Teorema de Pitágoras. O livro “The Pythagorean Proposition”, de 1927, por exemplo, propunha 230 formas de demonstração. Outra edição lançada em 1940, elevou esse número para 370 demonstrações. 

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