As permutações simples e de repetição são técnicas de contagem usadas para a ordenação dos elementos de um conjunto finito. A permuta nada mais é do que uma troca, significa a troca de elementos de lugar conforme a ordenação deles. Continue lendo para saber mais.
O que são permutações?
Na matemática, a permutação é uma técnica de contagem usada para a determinação de quantas formas existem de ordenação dos elementos de um conjunto finito. Uma permuta nada mais é do que uma troca. Em problemas de combinatória refere-se a troca de elementos de lugar de acordo com a ordenação deles.
As permutações são técnicas que fazem parte da área de Análise Combinatória da Matemática. É utilizada para o conhecimento e contagem de diferentes modos de organização dos conjuntos e seus elementos. Integram essa categoria de problemas, a permutação simples e a de repetição.
O que é permutação simples?
A permutação simples trata-se de uma ordenação de elementos de um conjunto finito, nela os seus elementos não se repetem, são diferentes. Essa técnica é usada para definir a quantidade dessas ordenações.
A quantidade Pn de permutações de um conjunto de n elementos é igual a n! A fórmula para a determinação da quantidade de permutações simples é:
Pn = n!
Para entender melhor considere um conjunto com n elementos que deverão ser organizados em uma fila. Para isso precisaremos escolher o primeiro elemento e a partir disso teremos n possibilidades.
A escolha do segundo elemento (n-1), já tem uma possibilidade a menos já que já utilizamos uma opção para o primeiro. O processo continua sendo realizado até que reste somente um.
Determinação da quantidade total de permutações
A determinação da quantidade total de permutações é realizada através da multiplicação da quantidade de possibilidades existentes na escolha de cada elemento. Sendo assim:
n x (n – 1) x (n – 2) x … 3 x 2 x 1
Essa expressão acima é chamada de fatorial de n e para ela utilizamos o símbolo n!.
Confira o exemplo:
As possibilidades de organização das letras de uma palavra recebem o nome de anagramas. A palavra PATO possui quantos anagramas?
As possibilidades:
- 1ª posição – 4 possibilidades;
- 2ª posição – 3 possibilidades;
- 3ª posição – 2 possibilidades;
- 4ª posição – 1 possibilidade.
Uma vez que a palavra PATO possui 4 letras temos que:
P4 = 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
Então existem 24 permutações simples para a palavra PATO.
O que é permutação com repetição?
Esse tipo de permutação é aquela em que em um conjunto de n elementos há alguns repetidos. Para determinar o número de permutações com repetição devemos dividir o fatorial do número total n de elementos pelo produto gerado entre os fatoriais dos elementos repetidos.
pn(a, b, c…) = n!a!x b!x c!
Sendo:
- Pn – o número de permutações de n elementos;
- a, b, c… – os números de elementos de cada tipo que estão repetidos;
- n! – o fatorial do número total de elementos n.
Confira o exemplo:
Determinar quantas permutações existem para a palavra OVO. Para tornar o processo mais simples iremos colorir as letras. Confira abaixo os anagramas com a palavra OVO.
Na prática, as permutações abaixo equivalem a apenas uma:
OVO
OVO
O mesmo ocorre com as permutações abaixo:
OOV
OOV
Também acontece o mesmo com as permutações abaixo:
VOO
VOO
O número de permutações simples com 3 elementos é encontrada através de:
P3 = 3! = 3 x 2 x 1 = 6
Porém, algumas permutações se repetem e não podemos contá-las duas vezes. Para chegar a elas devemos fazer a divisão de P3 (a palavra tem três letras) por P2 (a letra O se repete duas vezes).
Pn = 3!2! = 3 x 2 x 12 x 1 = 62 = 3
Então, o número de permutações para as letras da palavra OVO é igual a 3.
Outro exemplo:
Deveremos determinar o número de permutações para as letras que formam a palavra BANANA.
P6(A,N) = 6!3!X 2!
Sendo:
- P6(A,N) – indica permutação com 6 elementos nas quais as letras A e N se repetem.
- 3! – a letra A se repete três vezes.
- 2! – a letra N se repete duas vezes.
Dica
Podemos facilitar o cálculo desenvolvendo o 6! até chegar em 3!. Assim faremos a simplificação com o denominador. Confira o desenvolvimento.
P6(A,N) = 6 x 5 x 4 x 3!3!X 2! – cortando o 3!
P6(A,N) = 6 x 5 x 42 x 1 = 1202 = 60
Logo, o número de permutações da palavra BANANA é igual a 60.
Conclusão
Pratique resolvendo exercícios de permutações simples e de repetição para fixar esse conteúdo. É um tipo de cálculo com aplicação no dia a dia.
Gostou de saber mais sobre permutações simples e de repetição? Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag Medicina!
