Entenda o que são sistemas lineares
Os sistemas lineares são conjuntos de duas ou mais equações que apresentam uma ou mais incógnitas. No artigo a seguir iremos explicar esse conceito recorrente na matemática e como resolver um sistema linear com duas equações do 1° grau e duas incógnitas.
O que são sistemas lineares?
Um sistema linear ou sistema de equações lineares é um conjunto finito que contempla equações lineares aplicadas num mesmo conjunto de variáveis (também finito).
O que são equações?
As equações existem porque em alguns casos precisamos encontrar valores desconhecidos de incógnitas. Dessa forma, uma equação é uma expressão algébrica com igualdade. Quando o maior expoente das incógnitas da equação é 1, ela recebe o nome de linear. Confira o exemplo abaixo:
2x + y = 7 – (equação linear que apresenta duas incógnitas)
a + 4 = -3 – (equação linear que apresenta uma incógnita)
Em geral, uma equação linear pode ser descrita por:
a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c
Quando existe mais de uma equação linear temos o chamado sistema de equação. Nesse artigo, iremos explicar como resolver sistemas lineares com duas equações do 1° grau e duas incógnitas. Você descobrirá que é mais simples do que parece!
Como resolver sistemas lineares?
Resolução de sistemas lineares com duas equações do 1° grau e duas incógnitas
Existem diferentes métodos para resolver um sistema que apresenta duas equações e duas incógnitas. A seguir apresentaremos os três mais utilizados:
- Método da comparação;
- Método da adição;
- Método da substituição.
Como utilizar o método da substituição
Nesse método, uma das incógnitas é isolada em uma das equações e na outra se faz a substituição.
Confira o exemplo:
{x+2y=5 3x-5y=4
Como resolver:
Primeiro passo – isolamento de uma das incógnitas
A primeira equação é chamada de I e a segunda é chamada de II. Na equação I (x + 2y = 5), x não possui coeficiente, ou seja, é mais fácil de ser isolado. A equação I então é reescrita da seguinte forma:
I → x + 2y = 5
I → x = 5 – 2y
Segundo passo – a substituição de I em II
Uma vez que temos o x isolado na equação I, podemos fazer a substituição de x por 5 – 2y, na equação II.
II → 3x – 5y = 4
Fazendo a substituição de x por 5 – 2y:
3 (5 – 2y) – 5y = 4
Nesse ponto, a equação apresenta apenas uma incógnita, logo podemos encontrar o valor de y. Ao encontrar o valor de y, poderemos descobrir o valor de x fazendo a substituição do valor de y na equação I. Confira abaixo:
I → x = 5 – 2y
x = 5 – 2 · 1
x = 5 – 2
x = 3
A solução do sistema é S = {3,1}.
Como utilizar o método da comparação
No método da comparação, devemos isolar uma incógnita nas duas equações para que esses valores sejam igualados. Confira o exemplo:
{2x+y=2 x+3y= -4
Primeiro passo – isolando uma das incógnitas
A primeira equação será chamada de I e a segunda de II. A incógnita escolhida para ser isolada foi x, logo, temos que:
x = 2-y2 → I
x = -4 – 3y → II
Segundo passo – igualando as duas novas equações, pois x = x.
2-y2 = -4 – 3y
2 –y = 2(-4 –3y)
2 –y = –8 –6y
6y – y = –8 –2
5y = –10
y = -105
y = –2
Terceiro passo – a substituição do valor de y por -2 em uma das equações
x = –4 – 3y
x = –4 – 3 (-2)
x = –4 + 6
x = 2
A solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}.
Como utilizar o método da adição
Esse método consiste em multiplicar todos os termos de uma das equações, de forma que a equação I seja somada na equação II. Uma das incógnitas ficará igual a zero. Confira o exemplo:
{5x -4y= -5 x+2y=13
Primeiro passo – multiplicação de uma das equações
Ao fazer isso, os seus coeficientes ficarão opostos.
Observe que, ao multiplicar a equação II por 2 teremos 4y na equação II e na equação I teremos –4y. Se somarmos I + II chegaremos a 0y. Para que isso aconteça iremos multiplicar todos os termos da equação II por 2.
I → 5x – 4y = –5
2 · II → 2x + 4y = 26
Segundo passo – somar I + 2 . II
{5x-4y=5 2x+4y=26
7x + 0y = 21
7x = 21
x = 217
x = 3
Terceiro passo – substituir o valor de x por 3 em uma das equações
5x – 4y = –5
5 . 3 – 4y = –5
15 – 4y = –5
–4y = –5 –15
–4y = –20
y = -20-4
y = 5
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