Entenda o que são sistemas lineares - Hexag Medicina
06/10/2023 Matemática

Entenda o que são sistemas lineares

Escrito por Hexag Educacional @hexagmedicina
Entenda o que são sistemas lineares

Os sistemas lineares são conjuntos de duas ou mais equações que apresentam uma ou mais incógnitas. No artigo a seguir iremos explicar esse conceito recorrente na matemática e como resolver um sistema linear com duas equações do 1° grau e duas incógnitas. 

O que são sistemas lineares?

Um sistema linear ou sistema de equações lineares é um conjunto finito que contempla equações lineares aplicadas num mesmo conjunto de variáveis (também finito). 

O que são equações?

As equações existem porque em alguns casos precisamos encontrar valores desconhecidos de incógnitas. Dessa forma, uma equação é uma expressão algébrica com igualdade. Quando o maior expoente das incógnitas da equação é 1, ela recebe o nome de linear. Confira o exemplo abaixo:

2x + y = 7 – (equação linear que apresenta duas incógnitas)

a + 4 = -3 – (equação linear que apresenta uma incógnita) 

Em geral, uma equação linear pode ser descrita por: 

a1x1 + a2x2 + a3x3… + anxn = c

Quando existe mais de uma equação linear temos o chamado sistema de equação. Nesse artigo, iremos explicar como resolver sistemas lineares com duas equações do 1° grau e duas incógnitas. Você descobrirá que é mais simples do que parece! 

Como resolver sistemas lineares?

Resolução de sistemas lineares com duas equações do 1° grau e duas incógnitas

Existem diferentes métodos para resolver um sistema que apresenta duas equações e duas incógnitas. A seguir apresentaremos os três mais utilizados:

  • Método da comparação; 
  • Método da adição;
  • Método da substituição.

Como utilizar o método da substituição

Nesse método, uma das incógnitas é isolada em uma das equações e na outra se faz a substituição. 

Confira o exemplo:

{x+2y=5 3x-5y=4  

Como resolver: 

Primeiro passo – isolamento de uma das incógnitas

A primeira equação é chamada de I e a segunda é chamada de II. Na equação I (x + 2y = 5), x não possui coeficiente, ou seja, é mais fácil de ser isolado. A equação I então é reescrita da seguinte forma: 

I → x + 2y = 5

I → x = 5 – 2y

Segundo passo – a substituição de I em II

Uma vez que temos o x isolado na equação I, podemos fazer a substituição de x por 5 – 2y, na equação II. 

II → 3x – 5y = 4

Fazendo a substituição de x por 5 – 2y:

3 (5 – 2y) – 5y = 4

Nesse ponto, a equação apresenta apenas uma incógnita, logo podemos encontrar o valor de y. Ao encontrar o valor de y, poderemos descobrir o valor de x fazendo a substituição do valor de y na equação I. Confira abaixo: 

I → x = 5 – 2y

x = 5 – 2 · 1

x = 5 – 2

x = 3

A solução do sistema é S = {3,1}.

Como utilizar o método da comparação

No método da comparação, devemos isolar uma incógnita nas duas equações para que esses valores sejam igualados. Confira o exemplo: 

{2x+y=2 x+3y= -4  

Primeiro passo – isolando uma das incógnitas

A primeira equação será chamada de I e a segunda de II. A incógnita escolhida para ser isolada foi x, logo, temos que: 

x = 2-y2 → I

x = -4 3y → II

Segundo passo – igualando as duas novas equações, pois x = x.

2-y2 = -4 3y

2 y = 2(-4 3y)

2 y = 8 6y

6y y = 8 2

5y = 10

y = -105

y = 2

Terceiro passo – a substituição do valor de y por -2 em uma das equações 

x = 4 – 3y

x = 4 – 3 (-2)

x = 4 + 6

x = 2

A solução desse sistema é o conjunto S = {2,-2}.

Como utilizar o método da adição 

Esse método consiste em multiplicar todos os termos de uma das equações, de forma que a equação I seja somada na equação II. Uma das incógnitas ficará igual a zero. Confira o exemplo:

{5x -4y= -5  x+2y=13  

Primeiro passo – multiplicação de uma das equações

Ao fazer isso, os seus coeficientes ficarão opostos. 

Observe que, ao multiplicar a equação II por 2 teremos 4y na equação II e na equação I teremos 4y. Se somarmos I + II chegaremos a 0y. Para que isso aconteça iremos multiplicar todos os termos da equação II por 2. 

I → 5x – 4y = 5

2 · II → 2x + 4y = 26

Segundo passo – somar I + 2 . II

{5x-4y=5 2x+4y=26   

7x + 0y = 21

7x = 21

x = 217

x = 3

Terceiro passo – substituir o valor de x por 3 em uma das equações

5x 4y = 5

5 . 3 4y = 5

15 4y = 5

4y = 5 15

4y = 20

y = -20-4

y = 5

Gostou de saber mais sobre sistemas lineares? Para conferir mais conteúdos como este e dicas para o Enem e o vestibular, acesse outros posts do blog Hexag Medicina!

Retornar ao Blog