No artigo a seguir iremos explicar o que é progressão aritmética e progressão geométrica. Saiba quais são as diferenças entre os dois conceitos e conheça as suas fórmulas e aplicações. Boa leitura! 

Progressão aritmética e progressão geométrica: conheça os conceitos

• Progressão Aritmética (PA) – sequência de valores em que se mantém uma diferença constante entre os números consecutivos. 
• Progressão Geométrica (PG) – possui números com o mesmo quociente na divisão de dois termos consecutivos. 

Numa progressão aritmética, os termos são resultado da soma da diferença comum ao antecessor. Por sua vez, numa progressão geométrica os termos são encontrados pela multiplicação da razão pelo último número da sequência. 

Progressão aritmética (PA)

A sequência de uma progressão aritmética é formada por termos que se diferenciam um do outro por um valor constante. Esse valor recebe o nome de razão, seu cálculo é feito da seguinte forma: 

r = a2 – a1

Sendo:

r = razão da PA;

a2 = segundo termo;

a1 = primeiro termo.

Então, os termos de uma progressão aritmética podem ser escritos da seguinte maneira: 

PA = a1, (a1 + r), (a1 + 2r), (a1 + 3r), … , [a1 + (n – 1)r]

Em uma PA de n termos, a fórmula do termo geral (an) da sequência é a seguinte: 

an = a1 + (n – 1) r

Atenção!

Existem casos particulares, como:

• PA de 3 termos – é representada por (x – r, x, x + r);
• PA de 5 termos – é representada por (x – 2r, x – r, x, x + r, x + 2r).

Conheça os tipos de PA

Conforme o valor da razão, as progressões aritméticas podem ser classificadas em 3 tipos: 

• Constante – a razão é igual a zero e os termos da PA são iguais. Exemplo: PA = (2, 2, 2, 2, 2, …), sendo r = 0. 
• Crescente – a razão é maior do que zero e um termo a partir do segundo é maior do que o anterior. Exemplo: PA = (2, 4, 6, 8, 10, …), sendo r = 2. 
• Decrescente – a razão é menor do que zero e um termo a partir do segundo é menor do que o anterior. Exemplo: PA = (4, 2, 0, – 2, – 4, …), sendo r = – 2

Além disso, as progressões aritméticas podem ser classificadas como finitas ou infinitas.

• PA finita – quando apresenta um determinado número de termos.
• PA infinita – quando apresenta infinitos termos. 

Soma dos termos de uma PA

O cálculo da soma dos termos de uma progressão aritmética é feito usando a seguinte fórmula: 

Sn = a1+an.n2

Sendo:

n = número de termos da sequência;

a1 = primeiro termo;

na = enésimo termo. 

Essa fórmula é útil para a resolução de questões em que são dados o primeiro e o último termo. 

Nos casos em que o problema apresentar o primeiro termo e a razão da PA é possível utilizar a seguinte fórmula:

Sn = n.[2a1+n-1r]2

As duas fórmulas são usadas para a soma de termos de uma PA finita. 

Termo médio da PA

Para descobrir qual é o termo médio ou central de uma PA (com número ímpar de termos) devemos calcular a média aritmética com o primeiro o último termo (a1 e na). 

am = a1+an2

O termo médio entre três números consecutivos de uma PA equivale a média aritmética do antecessor e do sucessor. 

Progressão geométrica (PG)

A progressão geométrica é formada por uma sequência que possui um fator multiplicador resultado da divisão de dois termos consecutivos. Esse resultado recebe o nome de razão comum e seu cálculo é feito da seguinte maneira: 

q = a2a1

Sendo:

q = razão da PG;

a2 = segundo termo;

a1 = primeiro termo.

Confira a representação de uma progressão geométrica de n termos: 

a1, a1.q, a1.q2, a1.q3, a1.q4, …, a1.q(n – 1)

Conheça os tipos de PG

As progressões geométricas podem ser classificadas em quatro tipos, de acordo com o valor da razão (q). 

Crescente 

Quando a razão q > 1, os termos podem ser positivos ou, 0 < q < 1 e termos negativos. Exemplos: 

• PG: (3, 9, 27, 81, …), sendo q = 3; 
• PG: (-90, -30, -15, -5, …), sendo q = 1/3. 

Decrescente

Quando a razão q > 1, com termos negativos ou, 0 < q < 1 e os termos positivos. 

Exemplo:

• PG: (-3, -9, -27, -81, …), sendo q = 3;
• PG: (90, 30, 15, 5, …), sendo q = 1/3. 

Oscilante

Nesse caso a razão é negativa (q < 0) e os termos podem ser números negativos e positivos. 

Exemplo: 

• PG: (3, -6, 12, -24, 48, -96, …), sendo q = – 2. 

Constante

Nesse tipo, a razão é sempre igual a 1 e os termos tem sempre o mesmo valor. 

Exemplo: 

• PG: (3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, …), sendo q = 1. 

Soma dos termos de uma PG

O cálculo da soma dos termos de uma progressão geométrica é feito usando a seguinte fórmula: 

Sn = a1qn– 1q-1

Sendo: 

a1 = o primeiro termo;

q = razão comum;

n = número de termos. 

Quando a razão da PG é menor do que 1, devemos usar a seguinte fórmula para determinar a soma dos termos: 

Sn = a11- qn1-q

Essas são as fórmulas usadas para uma PG finita. No caso da soma pedida ser de uma PG infinita com 0 < q < 1 então a fórmula a ser utilizada é a seguinte: 

S = a11-q

Termo médio da PG

Para descobrir qual é o termo médio ou central de uma PG, com número ímpar de termos, é necessário calcular a média geométrica com o primeiro e o último termo (a1 e an): 

am = a1 . an

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