Introdução às matrizes - Hexag Medicina
15/10/2024 Matemática

Introdução às matrizes

Escrito por Hexag Educacional @hexagmedicina
Introdução às matrizes

As matrizes são utilizadas para organizar dados tabulares para facilitar a solução de problemas. A seguir, iremos explicar com mais detalhes o conceito de matriz e como utilizá-la de maneira prática.

O que são matrizes?

Matrizes são usadas para a organização de dados tabulares de maneira a facilitar a solução de problemas. As informações de uma matriz, sejam numéricas ou não, se encontram dispostas de forma organizada em linhas e colunas.

As matrizes são uma estrutura matemática que pode ser utilizada em diferentes campos do conhecimento. 

Representação de matrizes

As matrizes são representadas por letras maiúsculas (A, B, C…) acompanhadas por índices. O primeiro número indica a quantidade de linhas enquanto o segundo indica o número de colunas. A ordem de uma matriz é determinada pela:

  • Quantidade de linhas (fileiras horizontais) – m;
  • Quantidade de colunas (fileiras verticais) – n.

Então, a matriz A possui ordem m por n. As informações que fazem parte de uma matriz são chamadas de elementos e estão organizadas entre:

  • Parênteses;
  • Colchetes;
  • Duas barras verticais. 

Representação matemática

Os elementos de uma matriz podem ser representados genericamente, ou seja, podemos escrever o elemento por meio de representação matemática. Letras minúsculas (a, b, c…) representam o elemento genérico. Na representação de matrizes, o elemento genérico conta com um índice que indica sua localização.

Então, o primeiro número indica a linha onde o elemento se encontra. Por sua vez, o segundo número indica a coluna onde o elemento se localiza. Confira o exemplo abaixo, iremos fazer a listagem dos seus elementos:

A = 481 16100 259

– O primeiro elemento, presente na primeira linha e primeira coluna, é o número 4. Podemos denotá-lo da seguinte forma: 

 

a11 → elemento da linha um, coluna um

 

– Os demais elementos da matriz A2x3 ficam assim:

  • a11 = 4
  • a12 =16
  • a13 = 25
  • a21 = 81
  • a22 = 100
  • a23 = 9

Em geral, podemos escrever uma matriz em função dos seus elementos genéricos, isso é o que chamados de matriz genérica. A representação de uma matriz de m linha e 1 colunas fica representada por: 

 

Amxn= a11 a12 a13… a1n a21 a22 a23…a2n . . .             .

           am1 am2 am3… amn a21 a22 a23…a2n   

ou:

A = (ajj)mxn, onde 1 i m  e  1 j n, com i, j Z

 

Determine a matriz A = [aij ]2×2, que apresenta a seguinte lei de formação aij = j2 – 2i. A partir dos dados do enunciado, temos que a matriz A é da ordem dois por dois, isto é, têm duas linhas e duas colunas, então: 

 

A2×2 = {a11 a21   a12 a22   

 

Também foi dada a lei de formação da matriz, isto é, cada elemento dela se satisfaz a relação aij = j2 – 2i. Substituindo os valores de i e j na fórmula, temos:

 

a11 = (1)2 – 2(1) = -1

 

a12 = (2)2 – 2(1) = 2

 

a21 = (1)2 – 2(2) = -3

 

a22 = (2)2 – 2(2) = 0

 

Sendo assim, a matriz A é:

 

A2×2 = {-1 -3   2 0   

 

Tipos de matrizes

A seguir apresentaremos alguns tipos de matrizes que exigem atenção especial. 

Matriz quadrada

É chamada de matriz quadrada aquela que apresenta o número de linhas igual ao número de colunas. A representação dessa matriz de n linhas e n colunas é An, que se lê como matriz quadrada de ordem n. Em matrizes quadradas há dois elementos essenciais que são: 

  • Diagonais principal – formada por elementos que apresentam índices iguais, isto é, em que todo elemento aij com i = j;
  • Diagonal secundária – formada por elementos aij com i + j = n +1 sendo n a ordem da matriz. 

Matriz identidade

Essa matriz é uma matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0. A lei de formação é: 

aij = {1, se i=j 0, se i ≠j

A matriz é denotada por I, sendo n a ordem da matriz quadrada. 

Matriz unitária

Trata-se de uma matriz quadrada de ordem um, isto é, tem uma linha e uma coluna sendo somente um elemento. 

A = [-1]1×1, B = I1 = (1)1×1 e C = || 5||1×1

Matriz nula

Uma matriz é definida como sendo nula quando todos os seus elementos são iguais a zero. Essa matriz nula de m por n é representada por 

Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são iguais a zero. Representamos uma matriz nula de ordem m por n por Omxn.

Matriz oposta

Para entender esse conceito considere duas matrizes de ordens iguais: 

  • A = [aij]mxn
  • B = [bij]mxn

As matrizes serão chamadas de opostas se, e somente se, aij = -bij. Sendo assim, os elementos correspondentes deverão ser números opostos. 

Matriz transposta

Duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]nxm são consideradas transpostas se aij = bji. Então, para encontrar a transposta de uma matriz é necessário tomar as linhas como colunas. 

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