Introdução às matrizes
As matrizes são utilizadas para organizar dados tabulares para facilitar a solução de problemas. A seguir, iremos explicar com mais detalhes o conceito de matriz e como utilizá-la de maneira prática.
O que são matrizes?
Matrizes são usadas para a organização de dados tabulares de maneira a facilitar a solução de problemas. As informações de uma matriz, sejam numéricas ou não, se encontram dispostas de forma organizada em linhas e colunas.
As matrizes são uma estrutura matemática que pode ser utilizada em diferentes campos do conhecimento.
Representação de matrizes
As matrizes são representadas por letras maiúsculas (A, B, C…) acompanhadas por índices. O primeiro número indica a quantidade de linhas enquanto o segundo indica o número de colunas. A ordem de uma matriz é determinada pela:
- Quantidade de linhas (fileiras horizontais) – m;
- Quantidade de colunas (fileiras verticais) – n.
Então, a matriz A possui ordem m por n. As informações que fazem parte de uma matriz são chamadas de elementos e estão organizadas entre:
- Parênteses;
- Colchetes;
- Duas barras verticais.
Representação matemática
Os elementos de uma matriz podem ser representados genericamente, ou seja, podemos escrever o elemento por meio de representação matemática. Letras minúsculas (a, b, c…) representam o elemento genérico. Na representação de matrizes, o elemento genérico conta com um índice que indica sua localização.
Então, o primeiro número indica a linha onde o elemento se encontra. Por sua vez, o segundo número indica a coluna onde o elemento se localiza. Confira o exemplo abaixo, iremos fazer a listagem dos seus elementos:
A = 481 16100 259
– O primeiro elemento, presente na primeira linha e primeira coluna, é o número 4. Podemos denotá-lo da seguinte forma:
a11 → elemento da linha um, coluna um
– Os demais elementos da matriz A2x3 ficam assim:
- a11 = 4
- a12 =16
- a13 = 25
- a21 = 81
- a22 = 100
- a23 = 9
Em geral, podemos escrever uma matriz em função dos seus elementos genéricos, isso é o que chamados de matriz genérica. A representação de uma matriz de m linha e 1 colunas fica representada por:
Amxn= a11 a12 a13… a1n a21 a22 a23…a2n . . . .
am1 am2 am3… amn a21 a22 a23…a2n
ou:
A = (ajj)mxn, onde 1 i m e 1 j ≤ n, com i, j Z
Determine a matriz A = [aij ]2×2, que apresenta a seguinte lei de formação aij = j2 – 2i. A partir dos dados do enunciado, temos que a matriz A é da ordem dois por dois, isto é, têm duas linhas e duas colunas, então:
A2×2 = {a11 a21 a12 a22
Também foi dada a lei de formação da matriz, isto é, cada elemento dela se satisfaz a relação aij = j2 – 2i. Substituindo os valores de i e j na fórmula, temos:
a11 = (1)2 – 2(1) = -1
a12 = (2)2 – 2(1) = 2
a21 = (1)2 – 2(2) = -3
a22 = (2)2 – 2(2) = 0
Sendo assim, a matriz A é:
A2×2 = {-1 -3 2 0
Tipos de matrizes
A seguir apresentaremos alguns tipos de matrizes que exigem atenção especial.
Matriz quadrada
É chamada de matriz quadrada aquela que apresenta o número de linhas igual ao número de colunas. A representação dessa matriz de n linhas e n colunas é An, que se lê como matriz quadrada de ordem n. Em matrizes quadradas há dois elementos essenciais que são:
- Diagonais principal – formada por elementos que apresentam índices iguais, isto é, em que todo elemento aij com i = j;
- Diagonal secundária – formada por elementos aij com i + j = n +1 sendo n a ordem da matriz.
Matriz identidade
Essa matriz é uma matriz quadrada em que todos os elementos da diagonal principal são iguais a 1 e os outros elementos são iguais a 0. A lei de formação é:
aij = {1, se i=j 0, se i ≠j
A matriz é denotada por I, sendo n a ordem da matriz quadrada.
Matriz unitária
Trata-se de uma matriz quadrada de ordem um, isto é, tem uma linha e uma coluna sendo somente um elemento.
A = [-1]1×1, B = I1 = (1)1×1 e C = || 5||1×1
Matriz nula
Uma matriz é definida como sendo nula quando todos os seus elementos são iguais a zero. Essa matriz nula de m por n é representada por
Uma matriz é dita nula se todos os seus elementos são iguais a zero. Representamos uma matriz nula de ordem m por n por Omxn.
Matriz oposta
Para entender esse conceito considere duas matrizes de ordens iguais:
- A = [aij]mxn
- B = [bij]mxn.
As matrizes serão chamadas de opostas se, e somente se, aij = -bij. Sendo assim, os elementos correspondentes deverão ser números opostos.
Matriz transposta
Duas matrizes A = [aij]mxn e B = [bij]nxm são consideradas transpostas se aij = bji. Então, para encontrar a transposta de uma matriz é necessário tomar as linhas como colunas.
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