Relações de Girard: relações entre coeficientes e raízes - Hexag Medicina
21/10/2024 Matemática

Relações de Girard: relações entre coeficientes e raízes

Escrito por Hexag Educacional @hexagmedicina
Relações de Girard: relações entre coeficientes e raízes

As Relações de Girard são importantes ferramentas matemáticas para estabelecer conexões entre uma equação polinomial e os coeficientes do polinômio. No artigo a seguir explicaremos o conceito e como trabalhar com ambos. 

O que são as Relações de Girard?

As Relações de Girard consistem em um conjunto de fórmulas usadas para estabelecer relação entre as raízes de uma equação polinomial e os coeficientes dos termos do polinômio. São utilizadas para calcular as raízes de equações polinomiais de grau maior ou igual a 2. 

As Relações de Girard apresentam um padrão em suas construções, algo que independe do grau das equações. Consideramos uma equação algébrica de grau qualquer onde o coeficiente do expoente de maior grau é a, do seguinte b, do seguinte c e assim por diante. 

axn + bxn-1 + cxn-2 + dxn-3 + exn-4 + … = 0

Dessa forma, temos que: 

  • Relações de Girard sempre são dadas por frações, sendo o denominador igual a a
  • A primeira relação de Girard é sempre equivalente a soma de todas as raízes; 
  • A segunda relação é equivalente a soma entre todos os possíveis produtos entre duas raízes; 
  • Por sua vez, a terceira relação é a soma entre todos os possíveis produtos entre três raízes; 
  • O processo mantém o mesmo padrão, dessa forma a última relação de Girard é igual ao produto de todas as raízes da equação; 
  • Relações de Girard trocam de sinal a cada expressão, em que a primeira sempre apresenta sinal negativo;
  • A segunda relação de Girard apresenta sinal positivo, a terceira tem sinal negativo e assim por diante;
  • A primeira relação de Girard inicia com a segunda letra, ou seja, b e as seguintes seguem a ordem alfabética. 

Relações de Girard para equações polinomiais

As Relações de Girard para equações polinomiais consistem na soma das raízes de uma equação polinomial de grau n, sendo dada por: 

Soma = – ba

Sendo: 

  • a o coeficiente do termo de maior grau; 
  • b o coeficiente do termo de grau n-1. 

Produto das raízes

Em uma equação polinomial, o produto das raízes é dado por: 

Produto = (-1)n . ca

Sendo: 

  • a é o coeficiente do termo de maior grau; 
  • c é o coeficiente do termo independente. 

Relações de Girard para equações de Segundo Grau

Geralmente, iniciamos os estudos de equações pelos casos mais simples, ou seja, o de soma e produto em uma equação de segundo grau. Esse tipo de equação toma forma geral de equação quadrática:

ax2 + bx + c = 0

Caso, r1 e r2 sejam suas raízes, então:

r1 + r2 = – ba

r1 . r2 = ca

Relações de Girard de uma equação do 3º grau

Essas Relações de Girard estabelecem relações entre raízes de uma equação cúbica (polinômio do terceiro grau) e os coeficientes do polinômio. Em uma relação cúbica fica da seguinte forma: 

ax2 + bx2 + cx + d = 0

Com as raízes r1, r2 e r3, as Relações de Girard são: 

r1 + r2 + r3 = – ba

r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 = ca

r1 . r2 . r3 = – da

Relações de Girard de uma equação do 4º grau

O grupo de Relações de Girard está relacionado às relações entre as raízes de uma equação polinomial de quarto grau e os coeficientes do polinômio. Confira abaixo a forma da equação: 

ax2 + bx2 + cx2 + dx + e = 0

As Relações de Girard, com as raízes r1, r2, r3 e r4, são: 

r1 + r2 + r3 + r4 =  – ba

r1 . r2 + r1 . r3 + r1 . r4 + r2 . r3 + r2 . r4 + r2 . r4 + r3 . r4 = ca

r1 . r2 . r3 + r1 . r2 . r4 + r1 . r3 . r4 + r2 . r3 . r4  = – da

r1 . r2 . r3 . r4 = ea

Quando utilizar as Relações de Girard? 

Geralmente, as Relações de Girard são utilizadas quando o exercício menciona a soma e/ou produto entre raízes da equação. Confira um exemplo abaixo. 

Produto das Raízes

3x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0

Para calcular o produto das raízes não precisamos calcular cada raiz, só precisamos usar uma das Relações de Girard.

Sendo as raízes r1, r2 e r3 teremos que o produto entre elas é equivalente a: 

r1 . r2 . r3 = – da

Onde a = 3 e d = 1, isto é: 

r1 . r2 . r3 = – 13

Solução de uma equação

As Relações de Girard podem ser usadas também para resolver uma equação. Vamos considerar: 

x3 + 5x2 + 2x + 4 = 0

Sabemos que uma das raízes vale 2, assim poderemos encontrar as demais com facilidade. 

r1 + r2 + r3 = – ba  2 + r2 + r3 = –  (-5)1  

Isto é:

r2 + r3 = 3

Temos também:

r1 . r2 . r3 = – da  2 . r2 . r3 = –  41  

Ou seja:

r2 . r3 = -2

Para achar as raízes r2 e r3 precisamos resolver o seguinte sistema:

r2 + r3 = 3  

r2 . r3 = -2

O que nos leva a:

r2 = 3- 172 ,    r3 = 3+ 172

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