Relações de Girard: relações entre coeficientes e raízes
As Relações de Girard são importantes ferramentas matemáticas para estabelecer conexões entre uma equação polinomial e os coeficientes do polinômio. No artigo a seguir explicaremos o conceito e como trabalhar com ambos.
O que são as Relações de Girard?
As Relações de Girard consistem em um conjunto de fórmulas usadas para estabelecer relação entre as raízes de uma equação polinomial e os coeficientes dos termos do polinômio. São utilizadas para calcular as raízes de equações polinomiais de grau maior ou igual a 2.
As Relações de Girard apresentam um padrão em suas construções, algo que independe do grau das equações. Consideramos uma equação algébrica de grau qualquer onde o coeficiente do expoente de maior grau é a, do seguinte b, do seguinte c e assim por diante.
axn + bxn-1 + cxn-2 + dxn-3 + exn-4 + … = 0
Dessa forma, temos que:
- Relações de Girard sempre são dadas por frações, sendo o denominador igual a a;
- A primeira relação de Girard é sempre equivalente a soma de todas as raízes;
- A segunda relação é equivalente a soma entre todos os possíveis produtos entre duas raízes;
- Por sua vez, a terceira relação é a soma entre todos os possíveis produtos entre três raízes;
- O processo mantém o mesmo padrão, dessa forma a última relação de Girard é igual ao produto de todas as raízes da equação;
- Relações de Girard trocam de sinal a cada expressão, em que a primeira sempre apresenta sinal negativo;
- A segunda relação de Girard apresenta sinal positivo, a terceira tem sinal negativo e assim por diante;
- A primeira relação de Girard inicia com a segunda letra, ou seja, b e as seguintes seguem a ordem alfabética.
Relações de Girard para equações polinomiais
As Relações de Girard para equações polinomiais consistem na soma das raízes de uma equação polinomial de grau n, sendo dada por:
Soma = – ba
Sendo:
- a o coeficiente do termo de maior grau;
- b o coeficiente do termo de grau n-1.
Produto das raízes
Em uma equação polinomial, o produto das raízes é dado por:
Produto = (-1)n . ca
Sendo:
- a é o coeficiente do termo de maior grau;
- c é o coeficiente do termo independente.
Relações de Girard para equações de Segundo Grau
Geralmente, iniciamos os estudos de equações pelos casos mais simples, ou seja, o de soma e produto em uma equação de segundo grau. Esse tipo de equação toma forma geral de equação quadrática:
ax2 + bx + c = 0
Caso, r1 e r2 sejam suas raízes, então:
r1 + r2 = – ba
r1 . r2 = ca
Relações de Girard de uma equação do 3º grau
Essas Relações de Girard estabelecem relações entre raízes de uma equação cúbica (polinômio do terceiro grau) e os coeficientes do polinômio. Em uma relação cúbica fica da seguinte forma:
ax2 + bx2 + cx + d = 0
Com as raízes r1, r2 e r3, as Relações de Girard são:
r1 + r2 + r3 = – ba
r1 . r2 + r1 . r3 + r2 . r3 = ca
r1 . r2 . r3 = – da
Relações de Girard de uma equação do 4º grau
O grupo de Relações de Girard está relacionado às relações entre as raízes de uma equação polinomial de quarto grau e os coeficientes do polinômio. Confira abaixo a forma da equação:
ax2 + bx2 + cx2 + dx + e = 0
As Relações de Girard, com as raízes r1, r2, r3 e r4, são:
r1 + r2 + r3 + r4 = – ba
r1 . r2 + r1 . r3 + r1 . r4 + r2 . r3 + r2 . r4 + r2 . r4 + r3 . r4 = ca
r1 . r2 . r3 + r1 . r2 . r4 + r1 . r3 . r4 + r2 . r3 . r4 = – da
r1 . r2 . r3 . r4 = ea
Quando utilizar as Relações de Girard?
Geralmente, as Relações de Girard são utilizadas quando o exercício menciona a soma e/ou produto entre raízes da equação. Confira um exemplo abaixo.
Produto das Raízes
3x3 + 2x2 + 5x + 1 = 0
Para calcular o produto das raízes não precisamos calcular cada raiz, só precisamos usar uma das Relações de Girard.
Sendo as raízes r1, r2 e r3 teremos que o produto entre elas é equivalente a:
r1 . r2 . r3 = – da
Onde a = 3 e d = 1, isto é:
r1 . r2 . r3 = – 13
Solução de uma equação
As Relações de Girard podem ser usadas também para resolver uma equação. Vamos considerar:
x3 + 5x2 + 2x + 4 = 0
Sabemos que uma das raízes vale 2, assim poderemos encontrar as demais com facilidade.
r1 + r2 + r3 = – ba 2 + r2 + r3 = – (-5)1
Isto é:
r2 + r3 = 3
Temos também:
r1 . r2 . r3 = – da 2 . r2 . r3 = – 41
Ou seja:
r2 . r3 = -2
Para achar as raízes r2 e r3 precisamos resolver o seguinte sistema:
r2 + r3 = 3
r2 . r3 = -2
O que nos leva a:
r2 = 3- 172 , r3 = 3+ 172
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